well well well 🤫 Число Грэма — это одно из самых больших чисел, когда-либо использовавшихся в математических доказательствах. Оно настолько огромно, что его невозможно записать в стандартной десятичной форме, а его величина превосходит даже такие гигантские числа, как гуголплекс. Число Грэма возникло в рамках теории Рамсея, раздела комбинаторики, и было введено американским математиком Рональдом Грэмом в 1971 году при решении задачи о многомерных гиперкубах. ### Контекст: задача, в которой появилось число Грэма Проблема, связанная с числом Грэма, касается раскрашивания рёбер полного графа (то есть графа, где каждая вершина соединена с каждой) в *n*-мерном гиперкубе. Вопрос звучал так: *"Какое минимальное количество измерений *n* должно быть у гиперкуба, чтобы при любой раскраске его рёбер в два цвета (скажем, красный и синий) обязательно существовал одноцветный полный подграф из четырёх вершин, лежащих в одной плоскости?"* Грэм и его коллега Ротшильд доказали, что такое число *n* существует, и в качестве верхней границы дали то самое число Грэма. ### Как определяется число Грэма? Оно строится с помощью стрелочной нотации Кнута — способа записи астрономически больших чисел. 1. Одна стрелка (↑) — это возведение в степень: \( a \uparrow b = a^b \) Например, \( 3 \uparrow 3 = 3^3 = 27 \). 2. Две стрелки (↑↑) — тетрация (башня степеней): \( a \uparrow\uparrow b = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}} \) (высота башни — *b*) Например, \( 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} \approx 7,6 \cdot 10^{12} \). 3. Три стрелки (↑↑↑) и более — дальнейшая итерация: \( a \uparrow\uparrow\uparrow b = a \uparrow\uparrow (a \uparrow\uparrow \ldots \uparrow\uparrow a) \) Уже \( 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \) — это невообразимо большое число, представляющее собой башню троек высотой \( 3 \uparrow\uparrow 3 \). Число Грэма (G) использует 64 уровня такой рекурсии: Оно определяется как количество шагов в следующей последовательности: - \( G_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 \) (здесь уже 4 стрелки!) - \( G_2 = 3 \uparrow\uparrow\ldots\uparrow\uparrow 3 \) (с \( G_1 \) стрелками) - ... - \( G_{64} \) — это и есть число Грэма. ### Насколько оно велико? Даже \( G_1 \) уже настолько огромно, что его нельзя осознать: - \( 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \) — это башня из \( 7,6 \cdot 10^{12} \) троек. - А \( G_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 \) — это невообразимая итерация таких операций. А теперь представьте, что таких шагов 64, и каждый следующий использует предыдущий как количество стрелок. ### Почему число Грэма важно? 1. Оно появилось в серьёзном математическом доказательстве. 2. Долгое время было рекордсменом как самое большое число, использованное в математике (позже появились ещё большие, например TREE(3)). 3. Оно иллюстрирует мощь абстрактной математики — задачи, где конечный ответ существует, но его запись требует новых способов обозначений. ### Можно ли его записать? Нет. Даже если использовать всю наблюдаемую Вселенную для записи цифр, не хватит места. Его можно выразить только рекурсивно, через стрелочную нотацию. Вывод: число Грэма — это монстр комбинаторики, демонстрирующий, как простые на вид вопросы могут вести в глубины математики, где привычная арифметика бессильна. #Russia #Russia #USA #base #wellwellwell #RussBassed #MiG #MIG31 - @yrussianbassedman